Image Compression by SVD 基于奇异值分解的图像压缩

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Algorithm SVD

基于SVD的图像压缩实践

在之前的介绍里，我们讲过了SVD分解的基本原理。一个mxn的矩阵A可以分解为三个矩阵相乘：

A可以被U和V表示，而其中的奇异值分别为U的列向量和V的行向量的权重：

通常，前k大的奇异值就足以占了所以奇异值90%的比重，这种情况下，我们只需要选择前k个奇异值，对应地选择U的前k个列向量，还有V的前k个行向量，就可以近似表示出矩阵A:

在图像处理中，我们把一张图片的每个像素点作为矩阵中的元素，则我们得到一个mxn的矩阵，利用SVD分解，取前k个奇异值，就能实现图像的压缩：

同时我也可以称作其为图像降噪，因为可以认为奇异值非常小的那些项是噪声。
Anyway, 直接上代码

完整代码

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import matplotlib.pyplot as plt
from optparse import OptionParser
import numpy as np
import sys

# Get image path
def getOptions():
	parser = OptionParser()
	parser.add_option("-p", "--picture", dest="picture", action="store", help="specify the input picture path")
	parser.add_option("-c", "--count", dest="count", action="store", help="specify the required singular value count")
	options, _ = parser.parse_args()
	if not options.picture:
		sys.exit("-p/--picture is required!")
	return options


def compress(K,U,Sigma,VT,verbose=False):
	if verbose:
		print("Selected singular value count: {}".format(K))
		print("Before compression: {} {} {}".format(U.shape, Sigma.shape, VT.shape))
	U_K = U[:, :K]
	Sigma_K = np.eye(K)*Sigma[:K]   # Because Sigma matrix is a vector instead of a matrix, need to convert to matrix
	VT_K = VT[:K, :]
	if verbose:
		print("After  compression: {} {} {}".format(U_K.shape, Sigma_K.shape, VT_K.shape))
	return np.matmul(np.matmul(U_K,Sigma_K), VT_K)



if __name__ == "__main__":
	options = getOptions()

	# Read image
	pMatrix= np.array(plt.imread(options.picture))
	print("Original image shape: {}".format(pMatrix.shape))

	# Do SVD decomposition for each channel of RGB
	R, G, B = pMatrix[:,:,0], pMatrix[:,:,1], pMatrix[:,:,2]
	U_R,Sigma_R,VT_R = np.linalg.svd(R)
	U_G,Sigma_G,VT_G = np.linalg.svd(G)
	U_B,Sigma_B,VT_B = np.linalg.svd(B)

	# compress by top K singular values
	K = int(options.count) if options.count else 100
	R_new = compress(K,U_R,Sigma_R,VT_R,verbose=True)
	G_new = compress(K,U_G,Sigma_G,VT_G)
	B_new = compress(K,U_B,Sigma_B,VT_B)
	pMatrix_new = np.stack((R_new,G_new,B_new),2)  # Compose R,G,B channels back to complete image
	print("Compresses image shape: {}".format(pMatrix_new.shape))

	# show image after compress
	plt.imshow(pMatrix_new)
	plt.show()
	sys.exit()

运行结果

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$ python imageCompress.py -p pic_1.png -c 1000
     Original image shape: (1440L, 1080L, 4L)
     Selected singular value count: 1000
     Before compression: (1440L, 1440L) (1080L,) (1080L, 1080L)
     After  compression: (1440L, 1000L) (1000L, 1000L) (1000L, 1080L)
     Compresses image shape: (1440L, 1080L, 3L)

当K=10，即选取10个奇异值进行压缩：

当K=30

当K=50

当K=100

当K=500

可见，当使用前100个奇异值（约占全部奇异值数量的10%），就可以比较好地表示原图像了