相似矩阵

矩阵的意义之一就是，它代表一种线性变换。一种线性变换在不同的基下的表示方式是不一样的。相似矩阵表达的是：同一个线性变换在不同基下的表达。

下面的推导将会证明矩阵A和B矩阵相似，也就是说在下图左边的基下，A矩阵能够将向量顺时针转动一个角度且拉伸到一定倍数，而在右边的基下，B矩阵也能将该向量顺时针转动同一个角度且拉伸到同一个倍数。

推导

见下图

首先我们脱离任何基，在“绝对”坐标系里面描述一个线性变换：线性变换将向量 $\underset{a}{\rightarrow}$ 变换为 $\underset{\beta}{\rightarrow}$

接下来我们分别在不同的基里描述这个线性变换：

在基 $(\underset{i}{\rightarrow} ,\underset{j}{\rightarrow})$ 下，上述变换描述为：线性变换A将 $\underset{v}{\rightarrow}$ 变换为 $A\underset{v}{\rightarrow}$

同时由于我们知道向量 $\underset{a}{\rightarrow}$ 和 $\underset{v}{\rightarrow}$ 的关系是： $(\underset{i}{\rightarrow},\underset{j}{\rightarrow})\underset{a}{\rightarrow}=\underset{v}{\rightarrow}$

所以该变换可以进一步表述为：线性变换A将 $(\underset{i}{\rightarrow},\underset{j}{\rightarrow})\underset{a}{\rightarrow}$ 变换为 $A(\underset{i}{\rightarrow},\underset{j}{\rightarrow})\underset{\alpha}{\rightarrow}$

同理在新基下 $(\underset{i'}{\rightarrow} ,\underset{j'}{\rightarrow})$ 该变换表述为：线性变换B将 $(\underset{i'}{\rightarrow},\underset{j'}{\rightarrow})\underset{\alpha}{\rightarrow}$ 变换为 $B(\underset{i'}{\rightarrow},\underset{j'}{\rightarrow})\underset{\alpha}{\rightarrow}$

如果我们知道两组基的转换关系为 $P^{-1}$ ，那么有：

$P^{-1}(\underset{i}{\rightarrow},\underset{j}{\rightarrow})=(\underset{i'}{\rightarrow},\underset{j'}{\rightarrow})$ ①

同时，线性变换之后得到的向量也应该满足基之间的转换关系：

$P^{-1}A(\underset{i}{\rightarrow},\underset{i}{\rightarrow})\underset{\alpha}{\rightarrow}=B(\underset{i'}{\rightarrow},\underset{j'}{\rightarrow})\underset{\alpha}{\rightarrow}$ ②

将①带入②得到：

$P^{-1}A=BP^{-1}$

==>

$P^{-1}AP=B$