QR Decomposition 矩阵的QR分解

矩阵的QR分解来源于gram-schmidt正交化. 先看后者

gram-schmidt正交化

我们有空间的一组基 ，并希望得到该空间的一组正交基

1) 令，则被消灭

2) 向作垂线获得，那么和正交，且可以表示，则被消灭

向量到向量的正交投影为

则

3) 向和表示的二维平面作垂线，获得，那么，，互相正交，且可以表示，则被消灭

向量到和表示的二维平面的正交投影可以分解为：到的正交投影，以及到的正交投影的和

所以正交投影为

则

4) 推广到n维,可以被正交向量表示，则被消灭，且：

以上即为gram-schmidt正交化。

QR分解

在前面的gram-schmidt推导过程可知：

可以由表示：

可以由正交向量，表示：

可以由正交向量，，表示：

……

可以由正交向量表示：

写成矩阵乘法格式A=QR：

以上即为A=QR分解。